柯西中值定理通俗理解，简单搞定拉格朗日中值定理和柯西中值定理

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• 1、柯西中值定理通俗理解：简单搞定拉格朗日中值定理和柯西中值定理
• 2、柯西中值定理通俗理解，考研数学打卡NO.11

1、柯西中值定理通俗理解：简单搞定拉格朗日中值定理和柯西中值定理

1）拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，反映了可导函数在闭区间上的整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系。定理的形式如下：如果函数 f(x) 在闭区间上 [a,b] 连续，在开区间 (a,b) 上可导，那么在开区间 (a,b) 内至少存在一点ξ使得f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)。

2）柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，是微分学的基本定理之一。其几何意义为, 用参数方程表示的曲线上至少有一点，它的切线平行于两端点所在的弦。定理的形式如下：如果函数 f(x) 及 g(x) 满足在闭区间 [a,b] 上连续; 在开区间 (a,b) 内可导，x∈（a,b）且g'(x)≠0，则在 (a,b) 内至少有一点 ξ(a < ξ < b) 使等式(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f'(ξ)/g'(ξ)。

用习题结合加强记忆：

题目：函数 f(x) 在闭区间 [0,π/2] 上连续，在（0,π/2）内可导，证明：存在ξ，η∈（0,π/2），使得（π/2）* f'(ξ)= f'(η)/sinη。

解答：令g(x)=cosx，g'(x)=-sinx≠0（0<x<π/2）,

① 由拉格朗日中值定理，存在ξ∈（0,π/2），f(π/2)-f(0) = f'(ξ)（π/2-0）；

② 由柯西中值定理，存在η∈（0,π/2），f'(η)/g'(η)=(f(π/2)-f(0))/ (g(π/2)-g(0))，即f'(η)/sinη=(f(π/2)-f(0))；

由①和②得（π/2）* f'(ξ)= f'(η)/sinη。

2、柯西中值定理通俗理解，考研数学打卡NO.11

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